지배방정식(또는 제어방정식, governing equation)은 다양한 공학 및 과학 분야에서 특정 시스템의 물리적 현상을 기술하고 예측하기 위해 사용된다. 이러한 방정식은 시스템의 거동을 이해하고, 분석하고, 제어하는 데 많이 활용되는데 이를 세우는 이유와 개념에 대해서 한번 알아보자
지배방정식을 세우는 이유
지배 방정식을 세우는 가장 큰 이유는 현상을 이해하기 위해서다. 물리적 시스템의 기본적인 흐름과 예측을 한다면 이를 활용하는 것이 가능해서 인데, 이를 위해 지배방정식은 시스템 내의 다양한 물리적 변수 간의 관계를 명확히 정의한다. 이러한 예측을 통해 우리는 시스템을 설계하고 최적화하는 것이 가능한데, 공학적 설계 과정에서 시스템을 최적화하고 성능을 향상할 수 있다. 물론 이러한 최적화 이후에 제어를 하는 지점 가지 도달한다면 시스템을 원하는 상태로 유지하거나 특정 동작을 수행하게 할수있다는 것인데 조금 극화해서 말하면 차량의 제어를 한 가지 수식으로 하는 것이 가능할 정도다.
지배방정식의 개념
지배방정식의 출발은 생각보다 단순하다, 물리적 법칙을 수학적으로 표현한 것 이게 전부다. 예를 들어, 뉴턴의 운동 법칙, 열역학 법칙, 맥스웰 방정식 등을 통해 현상론을 이해하고 이를 수식화 하여 시스템의 동적 거동을 설명할 수 있고 일반적으로 미분방정식 형태로 주어진 방정식들을 통해 세상이 돌아가는 시스템을 설계할 수 있다는 것이 기초적인 논리다.
지배방정식의 역사
이러한 지배방정식은 과학과 공학의 역사같이 발전해 왔다.
- 고대와 중세: 고대 그리스의 아르키메데스와 중세 이슬람 학자들의 연구가 초기 과학적 원리와 기초 방정식을 제시후 이를 통해 후대에서 물리학으로 발전시켰다.
- 근대 물리학의 태동 (17~18세기): 뉴턴이 운동 법칙을 제시하고, 유체역학과 열역학 분야에서 많은 연구가 이루어졌다. 이때 미적분이 정확하게 수식적으로 자리 잡히고, 오일러 방정식과 Fourier의 열전도 방정식 등 다양한 기초 물리학이 완성되었다.
- 19세기: 맥스웰이 전자기학의 기본 법칙을 확립하고, 나비에-스토크스 방정식이 유체역학에서 중요한 역할을 하게 되었다. 기초 물리학이 쌓인 만큼 이 시기는 수학적 물리학의 황금기로, 많은 지배방정식이 이 시기에 개발되었다.
- 20세기: 지구 내의 거의 모든 물리학적 토대가 완성되어 양자역학과 상대성이론의 발전으로 새로운 형태의 지배방정식들이 도입되었다. 슈뢰딩거 방정식과 아인슈타인의 상대성 방정식이 대표적인 예로 발견되고도 지금까지 아직 기술화는 못 시키고 있는 부분이다.
- 현대: 컴퓨터의 발달로 인해 복잡한 지배방정식을 수치적으로 해결하는 것이 가능해졌다. 물론 이는 다양한 공학적 문제 해결 하기 위한 선결조건으로 더 이상 사람으로 손으로는 계산하는 것이 불가능한 영역에 도달해 ai를 활용한 계산이나 해석이 대세화 되고 있다.
지배방정식은 물리적 시스템의 거동을 설명하고 예측하는 데 필수적인 도구로, 이는 물리학과 수학의 발전과 함께 발전해 왔다, 사실상 현대 공학의 모든 분야에서 핵심적인 역할을 하며, 모든 시스템이 이 토대 아래 세워졌다라고 해도 과언이 아니다.