전기 모터에서의 퓨리에 급수(Fourier Series)

 

 전기차에서 전기 모터는 다양한 응용 분야에서 필수적인 역할을 하는 기계 장치로, 전기 에너지를 기계적 에너지로 변환하는 장치다. 이러한 전환 과정에서 모터의 효율성과 성능을 최적화하기 위해서는 모터의 동작을 수학적으로 분석하는 것이 핵심인데 이를 지배방정식으로 수치화하여 시물레이션 하는 것이 모터개발에서는 필수 적이다.

 이 과정에서 퓨리에 급수(Fourier Series)는 해석의 핵심으로, 푸리에 급수를 통해 복잡한 주기 함수를 간단한 삼각 함수(사인, 코사인)들의 합으로 표현하는 강력한 수학적 도구로 활용된다, 이를 통해 고조파별 해석부터 수많은 진동 소음 발열에 대한 예상까지 수많은 과정이 필수적이기에 사실상 반드시 이해해야 한다.

전기 모터와 주기적 신호

 전기 모터는 회전하는 장치이므로, 그 출력이나 입력 전압, 전류는 일반적으로 주기적 신호를 따른다. 예를 들어, 교류(AC) 모터에서는 입력 전압과 전류가 사인파 형태의 주기적 신호로 나타나는데 이를 극한까지 활용한 것이 3상 교류를 이용한 회전이다. 이러한 주기적 신호는 시간에 따라 반복되는 패턴을 가지며, 이들을 분석하기 위해 푸리에 급수가 사용된다.

 주기적 신호의 분석은 모터의 설계 및 제어에서 필수적입니다. 특히, 신호에 포함된 고조파(harmonics)를 분석함으로써 모터의 효율을 높이거나, 전자기 간섭(EMI) 문제를 줄이는 데 도움이 됩니다. 고조파는 기본 주파수의 배수로 나타나는 주파수 성분으로, 전기 모터에서 발생할 수 있는 손실이나 소음의 원인이 된다.

퓨리에 급수의 기본 개념

퓨리에 급수는 임의의 주기적 함수 f(t)를 무한히 많은 삼각 함수들의 합으로 표현하는 방법입니다. 주어진 주기 T를 가지는 함수 f(t)는 다음과 같이 표현될 수 있다.

 

여기서 a0​, an​, bn은 퓨리에 계수(Fourier coefficients)라고 불리며 이 퓨리에 계수들은 주기 함수 f(t)의 특정 주파수 성분의 진폭과 위상을 나타낸다. a0는 함수의 평균값(DC 성분)을 의미하며, an​과 bn은 각각 코사인 및 사인 성분의 진폭을 나타낸다.

전기 모터에서의 퓨리에 급수 활용

전기 모터에서 퓨리에 급수는 주로 다음과 같은 목적에서 활용된다.

1. 고조파 분석: 전기 모터에서 발생하는 고조파는 에너지 손실, 과열, 소음, 진동 등의 원인이 된다. 퓨리에 급수를 이용하면, 주기적 신호에 포함된 고조파 성분을 정확하게 분석할 수 있다. 이를 통해 모터의 설계 단계에서 고조파를 줄이기 위한 설계 개선이 가능하며, 실시간 제어에서도 고조파 억제 전략을 수립할 수 있다.
2. 신호의 스펙트럼 분석: 전기 모터의 전압이나 전류 신호를 퓨리에 급수로 변환하면 주파수 도메인에서 신호를 분석할 수 있다. 이를 통해 특정 주파수에서의 에너지 분포를 확인할 수 있으며, 이를 통해 모터의 상태를 진단하거나, 성능을 평가할 수 있다.
3. 비선형 효과 분석: 실제 전기 모터는 이상적인 선형 시스템이 아니며, 비선형적인 특성을 보인다. 이러한 비선형 효과는 모터의 전기적 특성에 고조파를 생성한다. 퓨리에 급수는 이러한 비선형 효과를 분석하고 이해하는 데 필수적인 도구로 활용된다.
4. 제어 시스템 설계: 모터 제어 시스템의 설계에서는 제어 신호와 응답 신호 간의 관계를 분석하는 것이 중요하다. 퓨리에 급수를 이용하여 주파수 영역에서 신호를 분석하면, 시스템의 안정성, 응답 속도, 진동 특성 등을 평가할 수 있으며, 최적의 제어 방식을 설계하는 데 도움이 된다.

세부적인 수식의 특성

퓨리에 급수에서 중요한 특성 중 하나는 주파수 성분의 독립성이다. 즉, 각 주파수 성분은 다른 주파수 성분과 독립적으로 존재하며, 이를 통해 복잡한 주기적 신호를 개별 성분으로 분해할 수 있다. 이 특성은 전기 모터에서 발생하는 다양한 주파수 성분을 구분하여 분석할 수 있게 해 준다.

 

또한, 푸리에 급수의 수렴 특성은 중요한 이슈로, 이상적인 경우, 퓨리에 급수는 모든 연속적 주기 함수에 대해 수렴한다. 그러나, 전기 모터의 실제 신호는 종종 비연속점(예: 급격한 전압 변화)을 포함할 수 있으며, 이 경우 퓨리에 급수의 수렴 속도가 느려지거나, 깁스 현상(Gibbs phenomenon)이 발생할 수 있다. 이러한 문제를 해결하기 위해 윈도 함수(window function)를 적용하거나, 필터링 기법을 활용하여 추가적인 해석을 진행하며